北师大版5-6年级数学 | 完整思维导图+全题型题库（无删减打印版）

0. 预备知识：分数的基础概念五年级开始前必须掌握

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【分数的意义】

定义：把一个整体平均分成若干份，表示其中一份或几份的数叫分数。例：把一块蛋糕平均切成4块，取其中3块，用分数3/4表示。

【分数的各部分名称】

例：3/4，横线叫分数线，3叫分子（表示取了几份），4叫分母（表示平均分成几份），读作：四分之三。

【真分数】

定义：分子比分母小的分数。特点：真分数都小于1。例：1/2、2/3、3/4、5/8。

【假分数】

定义：分子比分母大或等于分母的分数。特点：假分数都大于或等于1。例：3/2、5/5、7/4。

【带分数】

定义：由一个整数和一个真分数组成的分数。特点：带分数都大于1。例：1又1/2、2又3/4。

【假分数与带分数的互化】

假分数→带分数：分子÷分母，商是整数部分，余数是分子。例7/3=2又1/3。
带分数→假分数：整数×分母+分子做分子，分母不变。例2又1/3=7/3。

📝 专项训练（分数意义/互化）

① 把单位“1”平均分成9份，取5份是( )/( )，分数单位是( )。

💡 解析：分母9总份数，分子5取的份数，分数单位1/9。→5/9,1/9。

② 5/8的分子加上10，要使分数大小不变，分母应加( )。

💡 解析：分子5→15扩大3倍，分母8→24，增加16。

③ 分数单位是1/7的最大真分数是( )，最小假分数是( )。

💡 解析：真分数最大6/7，假分数最小7/7。

④ 3又2/5 = ( )/( )， 19/6 = ( )又( )/( )。

💡 解析：3×5+2=17/5；19÷6=3余1→3又1/6。

⑤ 一根绳子长7米，平均分成4段，每段占全长的( )，每段长( )米。

💡 解析：每段占1/4，长7÷4=7/4米。

1.1 倍数与因数（五上）

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【第1步：因数与倍数的定义】

定义：如果a×b=c（a、b、c都是非零自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。例：3×4=12，3和4是12的因数，12是3和4的倍数。

【第2步：质数与合数】

质数定义：只有1和它本身两个因数的数叫质数。合数定义：除了1和它本身还有其他因数的数叫合数。特别说明：1既不是质数也不是合数。为什么质数不能写成两个大于1的整数相乘：例7=1×7，找不到其他写法，所以7是质数；8=1×8=2×4，有两种写法，所以8是合数。怎么做：判断47是否是质数→用质数试除2,3,5,7…，47÷7≈6.7<7停止，不能整除→质数。

【第3步：2、3、5的倍数特征】

2的倍数：末位是0、2、4、6、8（因为10是2倍数，整十部分一定是2倍数，只看个位）。5的倍数：末位是0或5。3的倍数：各位数字之和是3倍数。为什么：以123为例，123=(99+1)+(18+2)+3=(99+18)+(1+2+3)，99+18是3倍数，所以看各位和。

【第4步：最大公因数】

定义：两个数共有的因数中最大的那个。为什么需要：用于约分。怎么做以24和36为例：列举法（公有1,2,3,4,6,12→12）；分解质因数（2×2×3=12）；短除法（2|24 36→2|12 18→3|6 9→2 3，除数乘2×2×3=12）。

【第5步：最小公倍数】

定义：两个数共有的倍数中最小的那个。为什么需要：用于通分。怎么做以4和6为例：列举倍数（4,8,12…；6,12…→12）；分解质因数（4=2²,6=2×3→2²×3=12）；短除法（2|4 6→2 3，除数×最后商=2×2×3=12）。

🧮 因数倍数专项训练

① 写出48的因数，并找出其中质因数。

💡 48的因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48；质因数2,3。

② 用短除法求36和54的最大公因数和最小公倍数。

💡 短除：2|36 54→3|18 27→3|6 9→2 3，GCD=2×3×3=18，LCM=18×2×3=108。

③ 两个数的最大公因数是8，最小公倍数是96，其中一个数是32，另一个数是( )。

💡 解析：8×96÷32=24。

④ 同时是2,3,5倍数的最小三位数是( )。

💡 末位0且各位和3倍数，最小三位120。

⑤ 一箱苹果，2个2个拿多1个，3个3个拿多1个，5个5个拿多1个，至少( )个苹果。

💡 2,3,5最小公倍数30，加1得31。

1.2 分数的运算（五上→五下）

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【第1步：约分】

定义：把分数化成分子和分母互质的形式。为什么约分：简洁、易比、习惯。怎么做：分子分母同除以最大公因数。例24/36=2/3。

【第2步：通分】

定义：分母不同的分数化成分母相同。为什么需要：只有分母相同才能直接比较或加减。怎么做：找最小公倍数。例2/3和3/4→8/12,9/12。

【第3步：分数加减法】

同分母：分母不变分子相加减；异分母：先通分再加减。结果要约分。例3/10+2/10=5/10=1/2。

【第4步：分数乘法】

分数×整数：分子乘整数；分数×分数：分子乘分子分母乘分母；能先约分再乘。例2/3×3/4=1/2。

【第5步：倒数】

乘积为1的两个数。为什么需要：分数除法转乘法。怎么做：真分数交换分子分母；整数写成分母1再交换；带分数先化假分数。例2/3倒数3/2。

【第6步：分数除法】

除以一个分数等于乘它的倒数。为什么：除法是乘法的逆运算。例2/3÷4/5=2/3×5/4=5/6。

⚡ 分数计算专练

① 5/6 + 3/8 = ?

💡 通分24：20/24+9/24=29/24=1又5/24。

② 7/9 - 2/5 = ?

💡 通分45：35/45-18/45=17/45。

③ 4/5 × 15/16 = ?

💡 约分：4/5×15/16=3/4。

④ 9/10 ÷ 3/5 = ?

💡 9/10×5/3=45/30=3/2。

⑤ 一桶油用去3/5，再加进20kg，这时是原来的1/2，原来油多少kg？

💡 设原来x：x-3/5x+20=1/2x → 0.4x+20=0.5x → 0.1x=20 → x=200kg。

1.3 百分数（六上）

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【第1步：百分数的定义】

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。符号%，读作“百分之”。例45%读作百分之四十五，表示45/100。注意：百分数只表示比例关系，不表示具体数量。

【第2步：百分数、分数、小数的关系】

百分数可写成分母100的分数；分数可化成小数再化百分数；小数化百分数小数点右移两位。

【第3步：互化方法】

小数→百分数：0.35→35%；百分数→小数：45%→0.45；分数→百分数：3/4=0.75=75%；百分数→分数：40%=40/100=2/5。

% 百分数专项训练

① 0.625 = ( )%， 36% = ( )小数。

💡 0.625=62.5%，36%=0.36。

② 男生20人，女生25人，女生比男生多百分之几？

💡 (25-20)÷20=0.25=25%。

③ 一件衣服原价300元，先提价20%再降价20%，现价多少？

💡 300×1.2=360，360×0.8=288元。

④ 含盐率8%的盐水300克，要稀释成5%，需加水多少克？

💡 盐24克，后来总质量=24÷0.05=480克，加水180克。

1.4 比的认识（六上）

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【第1步：比是什么？】

两个数相除又叫比。6÷3=2写成6:3=2。前项:后项=比值。

【第2步：比和除法、分数关系】

前项=被除数=分子，后项=除数=分母，比值=商=分数值。3:4=0.75。

【第3步：比的基本性质】

前项和后项同乘或除以同一个不为0的数，比值不变。

【第4步：什么叫“比表示几份几份”？】

从份数理解：3:4，后项4份则前项3份。5:2后项2份前项5份。

【第5步：化简比】

整数比同除以最大公因数；分数比同乘最小公倍数；小数比先化整数。例15:25=3:5。

【第6步：按比例分配】

份数法：48元按3:5分，总8份每份6元，甲18乙30。分数法：甲占3/8得18。练习：60个苹果按2:3分→一年级24，二年级36。

📐 比的应用训练

① 化简比：2.4:1.6， 1/3:1/4。

💡 2.4:1.6=24:16=3:2；1/3:1/4=4:3。

② 把140按3:4分成两部分，较大数是( )。

💡 总7份每份20，4×20=80。

③ 三角形内角度数比1:2:3，是什么三角形？

💡 30°,60°,90°→直角三角形。

1.5 正比例与反比例（六下）

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【第1步：什么是“两种相关联的量”？】

一种量变化，另一种也跟着变化。例斤数和钱数相关联。

【第2步：正比例】

比值一定叫正比例。单价固定，总价÷数量=单价固定，成正比例。判断：计算比值是否相等。

【第3步：反比例】

乘积一定叫反比例。路程固定，速度×时间=路程固定，成反比例。判断：计算乘积是否相等。

📈 正反比例判断训练

① 树高和生长年数成正比例吗？

💡 不一定，树高生长速度不固定，一般不成正比例。

② 速度80km/h需3小时，速度提高20km/h需几小时？

💡 路程240km，新速度100，时间=2.4小时（反比例）。

③ 判断：x 2 4 6；y 3 6 9成什么比例？

💡 y/x=1.5固定→正比例。

1.6 用方程解决问题（五下）

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【第1步：什么是方程？】

含有未知数的等式。例x+5=12。反例x+5不是。

【第2步：什么是“解方程”？】

求未知数的值。x+5=12解得x=7。

【第3步：解方程的基本方法】

加法：x+5=12→x=7；减法：x-3=7→x=10；乘法：3x=15→x=5；除法：x÷4=6→x=24；混合：2x+5=13→2x=8→x=4。

【第4步：怎么列方程解决问题？】

找等量关系→设未知数→列方程→解→检验。例买3支笔付20元找5元：20-3x=5→x=5。

⚖️ 方程专练

① 解方程5x-7=28并检验。

💡 5x=35，x=7；检验5×7-7=28✓。

② 飞机燃料够飞6小时，顺风1500km/h，逆风1200km/h，最多飞多远？

💡 设去时t小时，1500t=1200(6-t)→t=8/3，距离4000千米。

③ 男生比女生少12人，女生是男生1.5倍，男女生各多少人？

💡 设男生x，女生1.5x，1.5x-x=12→x=24，女生36。

1.7 常见的量（总复习）

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【长度单位】

千米(km)→米(m)→分米(dm)→厘米(cm)→毫米(mm)，进率1km=1000m，1m=10dm=100cm=1000mm。

【面积单位】

平方千米(km²)→公顷(hm²)→平方米(m²)→平方分米(dm²)→平方厘米(cm²)，1km²=100公顷，1公顷=10000m²，1m²=100dm²，1dm²=100cm²。

【体积单位】

立方米(m³)→立方分米(dm³)→立方厘米(cm³)，1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³。

【容积单位】

升(L)→毫升(mL)，1L=1000mL，1L=1dm³，1mL=1cm³。

【重量单位】

吨(t)→千克(kg)→克(g)，1t=1000kg，1kg=1000g。

【时间单位】

世纪→年→月→日→时→分→秒，1世纪=100年，1年=12月，1日=24时，1时=60分，1分=60秒。特殊：平年365天，闰年366天，月天数28~31。

🔁 单位换算闯关

① 3.08km = ( )m， 4.5m² = ( )dm²。

💡 3080，450。

② 7200cm³ = ( )L， 2.5小时 = ( )分。

💡 7.2L，150分。

③ 5吨40千克 = ( )吨， 3元4角 = ( )元。

💡 5.04吨，3.4元。

2. 图形与几何

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2.1 平面图形的面积（五上+六上）

【面积定义】物体表面或平面图形的大小。【平行四边形】S=底×高（沿高剪拼成长方形）。例底8高5→40cm²。【三角形】S=底×高÷2（两个相同三角形拼成平行四边形）。例底10高6→30cm²。【梯形】S=(上底+下底)×高÷2。例上4下6高5→25cm²。【圆的周长】C=πd=2πr，π≈3.14，半径3cm→18.84cm。【圆的面积】S=πr²，切拼近似长方形(长πr宽r)，半径3cm→28.26cm²。

2.2 立体图形（五下+六下）

【体积定义】物体所占空间大小。【长方体】V=长×宽×高，S=2(ab+ah+bh)。例5,4,3→V=60cm³，S=94cm²。【正方体】V=a³，S=6a²。棱长4→V=64，S=96。【圆柱】V=πr²h，侧面积=底面周长×高，表面积=侧面积+2底面积。半径3高10→V=282.6cm³。【圆锥】V=1/3πr²h，等底等高圆柱体积1/3。半径3高10→94.2cm³。

2.3 观察物体（六上）

从不同方向观察立体图形画平面图，培养空间想象能力。步骤：确定方向→想象可见面→画出图形。

📐 几何综合训练

① 梯形上底6cm下底10cm高5cm，面积？

💡 (6+10)×5÷2=40cm²。

② 圆柱底面半径4cm高10cm，表面积和体积？

💡 底面积50.24，侧面积251.2，表面积351.68cm²，体积502.4cm³。

③ 圆锥底面周长18.84cm，高6cm，体积？

💡 半径3cm，体积=1/3×3.14×9×6=56.52cm³。

3. 统计与概率

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3.1 统计图（五下+六上）

条形图：直条长短比较数量；折线图：反映变化趋势；扇形图：各部分占比。

3.2 可能性（五上）

定义：事件发生可能性大小，分数表示，0~1。公式：可能性=满意情况数÷总情况数。例袋中3红2蓝，摸红可能性3/5。

🎲 可能性与统计

① 盒中5红3蓝2绿，摸蓝概率？

💡 3/10=0.3。

② 表示一周气温变化选用什么统计图？

💡 折线统计图。

4. 综合与实践

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【鸡兔同笼】

问题：鸡兔共10头28腿。假设法：全兔40腿多12，换鸡减2腿→鸡6兔4。方程法：设鸡x，2x+4(10-x)=28→x=6。

【行程问题】

基本公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。

【工程问题】

工作总量=效率×时间，常把总量看作1。例甲10天乙15天合作：1÷(1/10+1/15)=6天。

🏆 综合应用题组

① 鸡兔30头88腿，各几只？

💡 假设全兔120腿多32，换鸡减2→鸡16兔14。

② 甲独做12天乙独做18天，合作3天后剩下由乙做还需几天？

💡 合作3天完成5/12，剩7/12，乙需10.5天。

③ 甲乙相距480km相向，甲速是乙速1.2倍，3h相遇，求乙速。

💡 速度和160，乙速=160÷2.2≈72.73km/h。

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0. 预备知识：分数的基础概念 五年级开始前必须掌握